简单明了,一篇文章教你搞懂坐标系统

1 、什么是坐标系?

或许很多人心中明白这个概念,却又不甚明白。什么是坐标系?人们描述空间中的一个点或者一个位置,通常会采用坐标这个概念。可是这个坐标该怎么计算呢?它的参考是谁呢?


坐标系由原点和坐标轴组成。坐标系种类很多,我们大家在数学中想必都学过笛卡尔坐标系、极坐标系、球面坐标系和柱面坐标系吧,在地学领域,用到最多的是平面坐标系、空间直角坐标系(前两者属于笛卡尔坐标系)和球面坐标系。比如说一个点坐标是( -2850017.472 , 4690744.523 , 3237959.973 )就是指空间直角坐标,而我们经常看到的 Google Earth 上的点的坐标( 37°20′17″N , 112°33′20″E )就是指球面坐标。      测量学上,坐标系怎样定义的呢?地球是一个不规则的类椭球,怎样用严格的数学方式表示它,应该是测绘学家们所追求的高峰。为了表示地球上每一个点的位置,是不是要建立一个统一的世界坐标系呢?建立坐标系是不是要确定坐标原点和坐标轴呢?那怎样建立呢?

测量学家们把地球当作一个规则的椭球来处理,这下就好办多了,椭球中心就原点呗,长轴短轴就作为坐标轴,这样一个坐标系就出来了啊。可是有人会问,那这个椭球怎么表示呢?嘛嘛的,我也想问,原来这是科学家们利用天文观测得到的,而且不同的科学家得到的椭球还不一样,比如,一个叫 Krasovsky 的人搞了个克拉索夫斯基椭球,还有人搞了什么 IUGG-1975 、 WGS-84 、 GRS80 椭球,他们主要特点是长半轴和扁率不同。可是又有人会问 (Y 的,问题好多啊 ) ,搞这么多椭球干嘛,有一个不就行啦。呵呵,我们知道,地球坑坑洼洼的,用严密的椭球来表示肯定有误差,有的国家为了使自己的国家与椭球面吻合(最好大家都站在椭球面上),这样根据各自的情况就定义了不同的参考椭球,比如北京 54 坐标系就采用了苏联老大哥的克拉索夫斯基椭球。

可是问题又来了,怎样才算吻合得好呢?肯定会有人站在椭球面上,有人站在椭球面下,真头疼。此时,测量学家们引入了大地基准面来衡量椭球与大地的吻合度。大地基准面是由大地水准面而来,是指平均海平面延伸到大陆得到的一个封闭曲面。比如,在建立北京 54 坐标系时,专家们肯定会选择与中国的大地水准面吻合比较好的椭球。此时的椭球称为参考椭球,建立的坐标系称为参心坐标系,我国的北京 54 和西安 80 坐标系都是参心坐标系,是一种局部范围的坐标系。然而这种坐标系对于全球定位来说极其不便,误差很大,所以山姆大叔率先针对 GPS 系统设计了全球大地坐标系 WGS-84 坐标系统,这时的大地原点不再是参考椭球的中心,而是地球的质心。WGS84 椭球体的相关参数和 WGS84 坐标系的坐标轴指向请参考相关专业书籍。我国现有的国家 2000 坐标系也是一种全球大地坐标系,其与 WGS-84 坐标系稍微有点差异。

下面是几种常见坐标系的椭球参数:

其中北京 54 坐标系和西安 80 坐标系是参心坐标系,而 WGS-84 坐标系与国家 2000 坐标系是地心坐标系,坐标原点是地球质心。

好啦,这样大家明白了坐标系的定义了吧,首先,需要定义参考椭球体,有了参考椭球还需要大地基准面(全球大地坐标系就不要了),然后需要定义坐标系原点和坐标轴的指向。这样一个坐标系就建立了,以后找妹子就方便多了,全球定位吧,关注测绘之家微信公众号获取更多姿势,哈哈!

2 、为什么要投影?

大家会想,有了坐标就行了,为什么还要搞个让人迷糊的投影?呵呵,前面我们讲到的是以椭球体为参考来进行空间定位,一点都不直观,如果哪天你和妹纸约会,妹纸说她在( -2850017.472 , 4690744.523 , 3237959.973 )或者( 112°E , 38°N ),尼玛坑爹,这到底在哪个国家,离哥哥我有多远啊,不知道啊,不至于拿个尺子去测吧。这时候,泡妞高手们想出了一个办法,把球面投影到一个平面,用一个平面坐标( x,y )来表示地面点的位置,两点之间求距离是不是很容易啊?这时候你会发现那个妹子不就是隔壁那妞嘛, 200 米不到(囧!哈哈)。当然,投影最大的目的不是方便把妹纸,而是地图。所以投影就是把球面坐标转化为平面坐标,也就是 3D 到 2D 的转换。

投影有很多种,按性质分,比如等角投影,等积投影,等距投影,任意投影等。大家都知道,球面展开成平面,肯定是一个不严密(也可说不完美)的过程,会有不同程度的变形。如何选择呢?比如在航海上,就需要等角投影,如果方向错了就会差很多,我猜如果哥伦布那时知道这些就不会跑到美洲还以为到了印度吧。如果需要丈量面积,那就要选择等积投影了。

3 、测量坐标几种表示方式及转换

常见的测量坐标包括大地坐标( B 、 L 、 H )、空间直角坐标( X 、 Y 、 Z )、平面坐标( x 、 y 、 H )。具体参考相关教程。

 终于讲到重点了,各种坐标怎样转换是大家最关心的。首先有一点要牢记:        同一参考椭球下,大地坐标与空间直角坐标之间的转换是严密的(数学关系对应),它们与平面坐标的转换是不严密的,需要做投影转换(想想也明白,把球面展成平面那可是难住了好多科学家呀)。而不同参考椭球之间的坐标转换永远都是非严密的。

坐标转换原理: 同一椭球下的转换同一椭球下,大地坐标( B 、 L 、 H )与空间直角坐标( X 、 Y 、 Z )之间的转换是严密的,其公式为:

而大地坐标( B 、 L 、 H )与空间直角坐标( X 、 Y 、 Z )向平面直角坐标的转换属于非严密的,需要进行球面到平面的投影选择,通常将空间直角坐标转换为大地坐标,然后在大地坐标和平面直角坐标之间采用高斯正算和反算公式进行计算。 

不同椭球下的转换

不同参考椭球下的坐标转换实质是基准的转换。如空间定位技术所采用的全球基准与地面网所采用的局部基准间的转换。通常的转换模型有布尔莎 – 沃尔夫模型和莫洛金斯基模型。这两种模型都常用且非常相似,布尔莎模型在进行全球或者较大范围内较为常用,但是莫洛金斯基模型可以克服布尔莎模型中旋转参数与平移参数相关性高的问题。

两个坐标系的转换通常有三维七参数模型和二维四参数模型。

布尔莎模型又称为七参数转换,或者七参数赫尔默特变换。该模型共采用 7 个参数,分别为三个平移参数 (ΔX 、 ΔY 、 ΔZ) 和三个旋转参数 (ωx 、  ωy 、 ωz) 和一个尺度参数 k 。

上式是一个 WGS84 下的空间直角坐标转换到 CGCS2000 下的空间直角坐标的布尔莎模型,有七个未知参数,简单的求解,只需要 3 个公共点就可以了,如果要得到严密解,就需要更多的公共点进行最小二乘平差解算。而对于大地坐标,可以转成空间直角坐标再解算,也可以直接利用布尔莎模型。

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